本网讯（通讯员申国桢）2021年12月10日15:00，南京大学数学系孙智伟教授在振华楼B214报告厅为我院师生带来了一场题为“Hilbert’s Tenth Problem over Z and Q”的精彩报告。报告由武汉大学77779193永利官网逻辑学教研室申国桢副研究员主持。武汉大学数学与统计学院王六权副教授、武汉理工大学理学院数学系彭宁宁副教授、华中科技大学数学与统计学院讲师胡怡宁、以及武汉大学77779193永利官网、数学与统计学院、计算机学院的同学参加了此次讲座。

孙智伟教授从1900年国际数学家大会上希尔伯特提出的23个问题讲起，其中的第10个问题（简称“希尔伯特第十问题”）问是否有能行算法来判定任一给定的丢番图方程是否有解。接下来，孙老师介绍了图灵、丘奇、克雷尼等人对“算法”概念的精确定义、以及这些定义的等价性，并由此引出著名的丘奇-图灵论题：每个直观上能行可计算的函数都是递归函数（或图灵可计算函数）。然后，孙老师介绍了递归可枚举集的概念，并给出了一个非递归的递归可枚举集。

讲座的第二部分，孙老师回顾了希尔伯特第十问题解决的历程。他首先介绍了丢番图关系和丢番图集的概念，以及戴维斯的大胆假设：每个递归可枚举集都是丢番图集。一旦戴维斯的假设被证明。希尔伯特第十问题将被否定地解答。接下来，孙老师介绍了之后的十几年间戴维斯等人对希尔伯特第十问题的研究工作，尤其是戴维斯、普特南、罗宾逊发表在数学年刊上的定理：每个递归可枚举集都是幂丢番图的。这离希尔伯特第十问题的最终解决只有一步之遥：证明幂函数是丢番图的，但最后一步也是最困难的一步。最后一步由俄罗斯数学家马季亚谢维奇在1970年完成，成功地解决了希尔伯特第十问题。

讲座的最后一部分，孙老师介绍了马季亚谢维奇、罗宾逊以及他本人关于希尔伯特第十问题的进一步研究工作。希尔伯特第十问题被解决之后，一个自然的问题是：含有多少个未知数的丢番图方程是否有解的问题就已经不可判定了？马季亚谢维奇和罗宾逊在1973年证明了含有13个未知数的丢番图方程在自然数集N上是否有解的问题不可判定。后来，马季亚谢维奇把13缩小到9，这也是目前的最佳结果。如果考虑整数集Z上的丢番图方程，最佳结果是由孙老师在1992年证明的“11未知数定理”：含有11个未知数的丢番图方程在整数集Z上是否有解的问题不可判定。最后，孙老师介绍了与有理数集Q相关的一系列不可判定性结果。

在互动环节中，王六权老师与孙老师讨论了一些数论问题。彭宁宁老师与孙老师讨论了与实数集R有关的判定问题。整个讲座学术氛围浓厚，同学们均表示此次报告内容充实、思路清晰、收获颇丰。

（编辑：邓莉萍   审稿：严璨、吴昕炜）